Средни величини

Същност и видове средни величини

Средните величини са статистически показатели за измерване на центъра на емпиричните разпределения. Те разкриват общото, типичното, закономерното за изучаване съвкупност по отношенеи на изучавания признак.

Видове:

  • Според характера на осредняване на величините
    • Вариационни средни – изразяват средно равнище на признака за изследване статистическа съвкупност
    • Хронологични средни изразяват средно равнище на признака за определен период от време
  • Според обхвата на единиците
    • Средни на генерална съвкупност
    • Извакова средна
  • Според степента на обобщаване на данните
    • Средни на цяла съвкупност
    • Групови средни
  • Според участвието на индивидуалните значения на признака при изчисляване на показателя
    • Алгебрични средни – изчисляват се при участие на всички индивидуални значения на признака – предсавители – средна аритметична средна хармонична, средна квадратична, средна кубична и други
    • Неалгебрични среди – изчисляват се при участие само на определени индивидуални значения на признака – предсавители – медиана, мода квартили

Средна аритметична – сума от индивидуални значения на всички единици от съвкупността на изучавания признак разделена на боя на тези единици. Отбелязва се с  

Свойства на средната аритметична

  • Сумата от отклоненията на индивидуалните стойности от средната аритметична е равна на нула
  • Сумата от квадратите на отклоненията на индивидуалните стойности от средната аритметична е най-малката възможна величина

Техника за изчисление на средна аритметична

Непретеглена формула – когато средната аритметична се изчислява от първични данни прилагаме т.нар непретеглена формула. Тази формула се нарича още непретеглена средна или проста средна.

Претеглена форма – когато изходните данни са в групиран вид т.е. под формата на статистически ред на разределение, за пресмятана на средна аритметична се използва т.нар. претеглена формула, където значенията на признака преди да се осреднят се прегетлянт със съответните честоти.

Медиана

Медианата е значението на тази единица в съвкупността, която разделя съвкупността на две равни групи от единици при условие, че единиците са подредени предварително по изходящи значения на признака. При установяване на медианата участват индивидуалните значения на една или няколко единици от съвкупността съобразно вида на изходните данни. Бележи се с Me. Медияната може да бъде определена по отношение на метрираните и на ординалните неметрирани статистически признаци.

Мода – е най-често срещаното значение на признака, т.е. това значение, което има най-висока честота. Бележи се с Mo. Модата може да бъде определена по отношение на метрираните и на неметрираните стратегически прогнози. В едно емпирично разределение може да има повече от една мода. Техника за определяне на модата – Първични негрупирани данни – определят се значенията на изучавания статистически признак, които се срещат най-често.

Интервален статистически ред

  • Определяме модалната група – групата с най-ниска абсолютна честота
  • Определяме стойността на модата по формулата

Същност и измерителна статистическо разейване

Степен на разсейване – степента на отдалеченост на индивидуалните значения на признака от определена характерна стойност(обикновено от центъра на разпределение)

Измерители на статистическо разсейване:

  • Абсолютни измерители – измерват степента на разсейване в абсолютни единици в мерната единица в мерната единица на признака. Служат за представяне степента на разсейване в отделното емпирично разпределение. Представители размах, средно аритметично отклонение, средно квадратично отклонение
  • Относителни измерители измерители – измерват степента на разсейване в относителни единици. Служат за сравнение на степента на разсейване в две различни емпирични разпределения. Представители дисперсия, коефициенти на вариация.

Абсолютни показатели за разсейване

  • Размах (R) – числовият интервал в който се намира индивидуалните значения на признака
  • R = Xmin – Xmax
  • Средно аритметично отклонение(сигма)

Съобразно изходните данни, изчисляването на средното аритметично отклонение се осъществява чрез различни техники

  • Непретеглена формула- Прилага се за изчисляване на средното аритметично отклонение при изходни данни под формата на първична статистиеска таблица

Претеглена формула. Прилага се за изчисляване на средното аритметично отклонение когато изходните данни са групирани. В случай че изходните данни са под формата на интервален статистически ред, отново се прилага претеглената формула.

Техники за изчисляване на средно аритметично отклонение

  • Претеглена формула – прилага се за изчисляване на средното аритметично отклонение когато изходните данни са групирани.
  • В случай, че изходните данни са под формата на интервален статистически ред, отново се прилага претеглената формула, като предварително интервалния ред ред се трансформира в дискретен

Средно квадратично(стандартно отклонение – най-точният абсолютен измерител на степента на разсейване е средно кватратично стандартно отклонение

Техники за изчисляване на средно аритметично отклонение

  • Непретеглена формула. Прилага се за изчисляване на средното квадратично отклонение при изходни данни под формата на първична статистическа таблица

където xi са значенията на признака

  • Претеглена формула. Прилага се за изчисляване на средното квадратично отклонение когато изходните данни са групирани

В случай, че изходните данни са под формата на интервален статистически ред, отново се прилага претеглената формула.

Дисперсия – дисперсията е основен относителен показател за степента на разсейване. Тя представлява квадрата на средното квадратично отклонение. Нейното предимство е, че се изчислява заедно с изчислението на стандартното откллонение, т.е. не изисква допълнителни изчислителни процедури.

При негрупирани изходни данни дисперсията се изчислява с помощта на непретеглена формула.

Когато изходните данни са групирани в дискретен или интервален ред за изчисляване на дисперсията се изолзва претеглена формула.

Коефициент на вариация – може да се изчисли въз основа на всеки от абсолютните показатели за разсейване. Формулата за изчисление на всички коефициенти на вариация е аналогична.

Коефициентът на вариация по стандартното отклонение е най-често прилагания относителен показател от тази група.

VR=

Асиметрия и екцес

Формата на емпиричното разпределение се определя чрез сравнение на формата на полигона на разпределението спрямо полигона на нормалното стандартизирано разпределение. Полигона на това разпределение е симетрична камбановидна крива с точно определена височина

Симетрично разпределение – честотно разпределение, чиито рамена на полигона по отношение на перпендикуляра, постоянен през центъра на разпределението, са огледално еднакви

Сравняването на полигона на едно емпирично разпределение с полигона на нормалното стандартизирано разпределение се осъществява като ценртовете на двете разпределения съвпадат

Измерители на формата на емпиичното разпледеление са показателите за асиметрия и екцес.

Коефициентът на асиметрия характеризира хоризонталните отклонения на дадено емпирично разпределение от симетричното разпределение:

  • Моментен коефициент на асеметрия – А
  • При негрупирани данни за изчисляване на u3 се използва непретеглена формула – формула
  • При групирани данни 3-я централен момент се изчислява по следната претеглева формула – формула

Интерпретация на моментния коефициент на асиметрия

При А=0 симетрично разпределение

При А>0 дясна асиметрия

При А<0 лява асиметрия

При – 0,5<=A<=0,5 умерена асиметрия

Коефициент на асиметерия на Пирсън

Yпирсън = 3(x-Me)/

Коефициент на асиметрия на Юл

Yюл = (x – Mo)/

Интерпретация на коефициентите на асиметрия на Пърсън и Юл

При y=0 симетрично разпределение

При y>0 дясна асиметрия

При y<0 лява асиметрия

При – 0,5<=y<=0,5 умерена асиметрия

Показатели за екцес

Коефициентът на екцес характеризира вертикалното отклонение на дадено емпирично разпределение от стандартно разределение

Е = µ/4

При негрупирани данни за изчисляване на  се използва непретеглена формула – формула

При групирани данни 4-я централен момент се изчислява по следната формула – формула

Стандартизиран коефициент на есцес – Es = E – 3

Интерпретация на коефициента на екцес

При Es = 0 стандартизирано

При Es > 0 връхна източеност

При Es < 0 приплеснато разпределение